Droites perpendiculaires ? (1) - Corrigé

Énoncé

Dans le plan complexe, on considère les points  \(\text A(\dfrac{17}{5}+\dfrac{1}{5}i) , \text B(1+i)\)  et  \(\text C(3-i)\) .  Les  droites \((\text A\text B)\) et \((\text A\text C)\) sont-elles perpendiculaires ?

Solution

\(\dfrac{z_\text C - z_\text A}{z_\text B - z_\text A} = \dfrac{3-i- \left( \frac{17}{5}+\frac{1}{5}i \right)}{1+i- \left( \frac{17}{5}+\frac{1}{5}i \right)}= \dfrac{- \frac{2}{5} - \frac{6}{5}i}{- \frac{12}{5} + \frac{4}{5}i}= \dfrac{-2-6i}{-12+4i}= \dfrac{-1-3i}{-6+2i}= \dfrac{(-1-3i)(-6-2i)}{(-6)^2 +2^2}= \dfrac{6+2i +18i-6}{40}= \dfrac{20i}{40}= \dfrac{i}{2} \in i \mathbb{R}\)

Donc les droites \((\text A\text B)\) et \((\text A\text C)\) sont perpendiculaires.